Déterminer l'intérieur \(\mathring A\) de $$A=\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\mid0\lt x\leqslant1\}$$

Initialisation du raisonnement par double-inclusion
On pose $$B=\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\mid0\lt x\lt 1\}$$
Montrons que \(B=\mathring A\) par double-inclusion

Caractérisation par les suites : \(B\) ouvert \(\Rightarrow\) \(B\subset\mathring A\)
\(\subset\) : \(B\) est un ouvert car si \((a_n)_n=(x_n,y_n)_n\subset B^C\) converge vers \(a\in{\Bbb R}^2\), alors \(\forall n\in{\Bbb N}\), on a \(x_n\leqslant0\) ou \(x_n\geqslant1\), donc \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } x_n\leqslant0\) ou \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } x_n\geqslant1\)
Donc \(B^C\) est fermé, donc \(B\) est ouvert
On a donc \(B\subset\mathring A\)

\(\supset\) : on raisonne par l'absurde
Si \(\mathring A\not\subset B\), alors il existe \(a\in\mathring A\) tel que \(a\notin B\)

Comme \(\mathring A\subset A\), on a \(a\in A\) et \(a\notin B\), donc $$a\in A\setminus B$$

Ainsi, si \(a=(x,y)\), alors \(x=1\)

Mais $$a\in\mathring A\iff\exists r\gt 0,B(a,r)\subset A$$

Or, la suite \(a_n=(1+\frac1n,y)\) converge vers \(1\)
Or, \(\forall n\in{\Bbb N}^*,a_n\notin A\)
Il y a une contradiction, donc on a bien \(\mathring A=B=\{(x,y)\in{\Bbb R}^2\mid0\lt x\lt 1\}\)

(Double inclusion)